【单纯形法计算步骤详解】单纯形法是线性规划中用于求解最优解的一种经典算法，广泛应用于生产计划、资源分配、运输优化等问题。它通过迭代的方式逐步逼近最优解，具有逻辑清晰、操作性强的特点。本文将对单纯形法的计算步骤进行详细总结，并以表格形式展示关键流程。
一、单纯形法基本思想
单纯形法基于线性规划的标准形式：
$$
\text{最大化} \quad Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n
$$
$$
\text{约束条件} \quad a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1
$$
$$
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2
$$
$$
\vdots
$$
$$
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leq b_m
$$
$$
x_i \geq 0, \quad i=1,2,\ldots,n
$$
其核心思想是：从一个初始可行解出发，在可行域的顶点之间移动，每次选择使目标函数值增加的方向，直到无法继续改进为止。
二、单纯形法计算步骤总结
| 步骤 | 操作内容 | 说明 |
| 1 | 建立初始单纯形表 | 将线性规划问题转化为标准形式，引入松弛变量，构建初始的单纯形表。 |
| 2 | 确定入基变量（换入变量） | 找出目标函数系数中最大的正值（若为最大化问题），作为入基变量。 |
| 3 | 确定出基变量（换出变量） | 对于入基变量所在的列，计算各约束行的比值（右端项 ÷ 系数），取最小非负比值对应的行作为出基变量。 |
| 4 | 进行行变换 | 用主元素（入基变量所在列与出基变量所在行的交点）将该列变为单位列，更新单纯形表。 |
| 5 | 检查是否达到最优解 | 若目标函数行中所有系数均为非正，则当前解为最优解；否则继续迭代。 |
| 6 | 重复步骤2-5 | 直到找到最优解或判断无界解。 |
三、示例说明（简化版）
假设我们有如下线性规划问题：
$$
\text{最大化} \quad Z = 3x_1 + 5x_2
$$
$$
\text{约束条件} \quad x_1 + 2x_2 \leq 4
$$
$$
3x_1 + 2x_2 \leq 6
$$
$$
x_1, x_2 \geq 0
$$
将其转换为标准形式后，初始单纯形表如下：
| 基变量 | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | RHS |
| $s_1$ | 1 | 2 | 1 | 0 | 4 |
| $s_2$ | 3 | 2 | 0 | 1 | 6 |
| $Z$ | -3 | -5 | 0 | 0 | 0 |
根据上述步骤，经过一次迭代后，得到新的单纯形表：
| 基变量 | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | RHS |
| $x_2$ | 0.5 | 1 | 0.5 | 0 | 2 |
| $s_2$ | 2 | 0 | -1 | 1 | 2 |
| $Z$ | -2 | 0 | 2.5 | 0 | 10 |
此时目标函数行中所有系数均为非正，说明已取得最优解，即 $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, 最大值 $Z = 10$。
四、注意事项
- 单纯形法适用于标准形式的线性规划问题。
- 若出现负比值或比值相同的情况，需特别处理。
- 当目标函数行存在正系数但无法继续改善时，说明问题无界。
- 实际应用中，可借助计算机软件（如Excel、MATLAB、Lingo等）实现自动计算。
五、总结
单纯形法是一种系统而高效的求解线性规划问题的方法，其核心在于不断寻找“改进方向”并逐步逼近最优解。掌握其计算步骤不仅有助于理解线性规划的基本原理，也为实际问题建模和求解提供了坚实的基础。